Задания ОЧ-2015: 9 класс.

9kVF30KQWOs

Термин «функция» в математике связан с именем основателя и первого президента Берлинской Академии наук Вильгельма Лейбница.
В микро- и макроэкономике функции тоже используются. О том, как их исследование помогает в решении задач, вы узнаете из разбора заданий ОЧ-2015, предложенных девятому классу.

Здание 1. Огурцы

Фирма «Гринэкспорт» выращивает огурцы в деревне А и может продать их в любом из девяносто восьми городов: 9класс1 Город  9класс2находится на расстоянии одного километра от деревни А, город 9класс3 — на расстоянии двух километров, город  9класс4— на расстоянии трех километров и так далее. К сожалению, в процессе транспортировки огурцы успевают усохнуть, поэтому их вес при продаже меньше, чем при закупке. В начале транспортировки огурцы состоят из воды на 99%, а в результате транспортировки огурцов на  километров массовая доля воды в них падает до (99-t)%. В тоже время, чем дальше увезти огурцы от деревни А, тем дороже их можно продать: в городе9класс5один килограмм огурцов стоит 9класс6.Транспортировка одной тонны огурцов, закупленных в деревне А, на расстояние, равное t километров, обходится фирме в 9класс7 рублей.

Решение

9класс8

Рассмотрим, как меняется масса 1 кг огурцов. Масса Не_Воды = 0,1кг.

Тогда

9класс9

Таким образом масса огурца будет равна

9класс10

Один «изначальный» килограмм огурцов после транспортировки на t километров весит 9класс11кг.

Таким образом, прибыль от продажи одной тонны огурцов в городе  составляет:

9класс12

Это парабола с ветвями, направленными вниз, максимум которой достигается при t=9.

Ответ: в городе 9класс13

Задание 2. Циферблат

Спрос на продукцию фирмы «Гамма» имеет вид 9класс14,  где Q— количество товара (в штуках), P — цена товара (в рублях за одну штуку). Издержки производства каждой единицы товара составляют 10 рублей. Фирма «Гамма» стремится получить максимальную прибыль от продажи товара. Руководство фирмы столкнулось с неожиданной проблемой: чтобы начать продажу товара, нужно установить на витрине ценник с указанием цены этого товара. Ценник набирается на специальном табло из соответствующих пластиковых цифр (представим, что никаких других путей оформления ценника не существует, например, нельзя написать цену от руки). Однако большая часть цифр, из которых может быть собран ценник, оказалась утерянной. В распоряжении фирмы остались только три цифры: «1», «2» и «8». Фирма может установить только такую цену на свою продукцию, которую можно собрать из этих цифр. Это означает, например, что фирма может установить цену 1 рубль или 12 рублей, но не может установить цену 48 рублей (так как у неё нет цифры «4») или 22 рубля (так как в её распоряжении имеется всего одна цифра «2»).

Производитель пластиковых цифр завод «Циферблат» готов продать фирме «Гамма» одну (и только одну) любую цифру на ее выбор. Назовите максимальную цену, по которой фирма «Гамма» согласится приобрести у «Циферблата» цифру. Какая это будет цифра?

Решение:

Зависимость прибыли от цены представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз:

9класс15

максимум которой достигается при цене, равной 50 рублям.

Парабола – симметричная функция, поэтому для максимизации прибыли нам нужно среди всех чисел, которые может «собрать» фирма на ценнике, выбрать то, которое на числовой оси расположено ближе всех к числу 50. Если фирма «Гамма» не пользуется услугой «Циферблата», то это число 28. В этом случае прибыль составит 1116 рублей.

Если же фирма «Гамма» купит у «Циферблата» цифру «5», то она сможет установить цену на уровне 51 рубль. Это самая близкая к оптимуму из возможных цен, она обеспечивает самый большой прирост прибыли, поэтому за цифру «5» фирма «Гамма» согласится заплатить больше всего.

В этом случае прибыль без учёта оплаты услуг «Циферблата» составит: 1599 рублей.

1599-1116=483

Ответ: 483 рубля. Цифра «5»

Задание 3. Конкуренция и монополия

Издержки производства каждой единицы товара N одинаковы для любой фирмы, которая соберётся его производить, и имеют вид . Величина спроса на этот товар строго убывает с ростом его цены. Обозначим  9класс16равновесный уровень выпуска товара N в условиях совершенной конкуренции между производителями этого товара. Обозначим9класс17  равновесный уровень выпуска товара N в условиях монополизации этого рынка единственным производителем. Верно ли утверждение: 9класс16 всегда больше, чем 9класс17? Если вы считаете, что утверждение верно, то докажите это. Если вы считаете, что утверждение ложно, то постройте соответствующий пример.

Решение:

Утверждение ложно.

Для обоснования достаточно привести пример функции спроса, для которой оптимальный выпуск любой из отраслей равен нулю. Например:9класс18

9класс19

Т.е. и при совершенно-конкурентном рынке, и при монопольном будет производиться 0 единиц товара (т.к. максимальная цена покупателя – 1, а далее она убывает).

 

Задание 4. Функция предложения

Издержки фирмы «Альфа» описываются следующей зависимостью:

9класс20

.

Цена на продукцию фирмы не зависит от её объёма выпуска. Найдите функцию предложения фирмы «Альфа».

Решение:

Цель фирмы – максимизация прибыли.

Поэтому она максимизирует функцию 9класс21

Рассмотрим оптимальное поведение фирмы на каждом из участков функции

9класс22

Найдём оптимальное количество в зависимости от цены на каждом из участков функции. (На каждом участке функция представляет собой параболу с ветвями вниз).

9класс23

Осталось понять следующее. Функция предложения – зависимость То есть, чтобы задать функцию предложения, необходимо для каждого значения цены указать соответствующий ей оптимальный уровень выпуска. Рассмотрим, при каких ценах фирме «Альфа» выгодно производить до 7 единиц продукции, а когда более 7 единиц продукции.

 

Для этого подставим найденные функции  в функции прибыли. Решим неравенство.

 

 

 

9класс24

 

 

Таким образом, если цена меньше 5, то мы используем первый участок. Далее мы используем второй участок (т.е. производим 9класс25) Таким образом, получаем ответ.

 

Ответ:

9класс26