Задания ОЧ-2015: 10 класс

ezb80-z0fgg
Русская поговорка «Терпение и труд все перетрут» известна с детства каждому. Мы уверены в ее правоте, и поэтому даем Вам шанс прорешать задания 10 класса индивидуального тура ОЧ-2015.

Задача 1.

Фирма «Три Угла», расположенная в стране N, занимается выращиванием волшебных цветов. Волшебные цветы растут сами, так что все издержки фирмы связаны только со строительством забора вокруг поля, на котором она растит свои цветы. Стоимость установки одного метра забора равна10класс1  денежных единиц. Фирма может огородить забором поле любой площади, однако по законам страны N это поле обязательно должно быть треугольным (зато треугольник может быть любым: прямоугольным, тупоугольным, остроугольным). На поле площадью один квадратный метр вырастают 10 волшебных цветов.

  1. Единственным покупателем волшебных цветов является король страны N. Король хотел бы приобрести 1000 волшебных цветов. Укажите минимальную цену одного цветка (в денежных единицах), при которой фирма «Три Угла» не понесет убытков, выполняя заказ короля.
  2. Предположим, что заказы от короля больше не поступают, однако есть рынок, на который фирма «Три Угла», являющаяся монополистом, может поставлять свои цветы. Рыночный спрос описывается функцией:10класс2.
  3. Существенно изменились теперь и издержки фирмы. Строительство забора теперь оплачивается по следующей схеме. Каждый метр нового забора обходится фирме в  денежных единиц, где  – длина забора, построенного фирмой (т.е. если фирма построила всего 10 метров забора, то за каждый построенный метр она должна заплатить 5000 денежных единиц). Закон о треугольной форме полей никто не отменял. Сколько метров забора необходимо построить фирме, чтобы получить максимальную прибыль? Целочисленность выращиваемых цветков можно игнорировать.Подсказка. Подумайте, у каких треугольников площадь будет максимальна (строгое доказательство не требуется).Решение задачи 1. Пункт 1.

    Этап 1. При заданном периметре площадь треугольника поля максимальна, когда он является равносторонним (можно использовать данное утверждение как факт, без доказательства). В этом случае площадь поля следующим образом соотносится с его периметром:10класс3

    Этап 2. Чтобы выполнить заказ, требуется поле площадью 100 квадратных метров, следовательно, его периметр можно найти из соотношения:                                                                                                                                        10класс4   Стоимость возведения забора такой длины составит 10класс5

    денежных единиц.

    Прибыль фирмы: 10класс6.

    Ответ: 0,06 д.е.

    Пункт 2.

    Количество цветов связано с периметром следующим образом:

    10класс7Тогда10класс8

    Прибыль фирмы:10класс9

    10класс9 10класс10    Максимум прибыли достигается при периметре, равном 10класс11 метрам.

    Задача 2.

    Рассмотрим классическую дилемму современного человека: с одной стороны – поддержание физической формы на определенном уровне, а с другой – удовольствие от потребления торта. Пусть уровень физической формы Антона зависит положительно от количества часов, проведенных в спортзале (переменная x), и отрицательно – от единиц съеденного тортика (переменная y ): 10класс12. Антон точно уверен, что он не проведёт в спортзале больше 3 часов. Однако Антон желает, чтобы при любом времени, проведенном в спортзале и удовлетворяющем вышеописанным условиям, уровень 10класс10его физической формы не падал ниже 9 условных единиц. Определите максимально возможное при этом количество единиц потребленных тортиков.

    В задании не предполагается целочисленность переменных.

    Решение задачи 2.

    Переформулируем задачу в виде математической модели. От нас требуется найти максимальное значение y, при котором F (x,y) будет10класс13 при любом 10класс14

    Сразу заметим, что наши переменные принимают только неотрицательные значения.

    Рассмотрим функцию 10класс15                           Найдем y, при которых эта функция будет 10класс16при любом 10класс17

    Для этого нужно рассмотреть 3 случая.

    Во-первых, решить систему (это случай, когда x не меньше 3):10класс18 .                         Решение системы: 10класс19                                                                                                              Во-вторых, рассматриваемая 10класс20будет неотрицательной при условии 10класс2110класс2210класс23 В-третьих, нерассмотренным остается случай, когда x меньше 3: единственное подходящее в этом случае значение – 0. Тогда 10класс24                                                                                                                     Объединяя три наших случая и учитывая неотрицательность, получаем 10класс25

    Тогда наибольшее количество единиц тортика, которое может потребить Антон при заданных условиях, равно .

    Ответ:  единиц.

     

    Задача 3.

    На одном из островов Большого моря располагаются две страны: Гамма и Дельта. Для удобства жителей и облегчения торговли страны используют единую валюту. В каждой стране производится и продаётся товар Б. В каждой стране на рынке присутствует большое число фирм. Параметры рынка представлены в таблице: 10класс26

    1. Пусть страны имеют возможность для осуществления свободной торговли. Будут ли страны торговать между собой? Какая страна будет экспортёром, а какая – импортёром? Определите параметры равновесия (цену, величины экспорта и импорта, объёмы производств).
    2. С целью поддержки национальных производителей страна Дельта ввела налог в размере 2,5 д.е. за ввоз каждой единицы товара Б. Определите новые параметры равновесия (цену, величины экспорта и импорта, объёмы производств, сумма налоговых сборов). Как изменилась совокупная выручка производителей товара Б страны Гамма по сравнению с пунктом 1?
    3. Между странами существовала договорённость о беспошлинной торговле. Страна Дельта нарушила договор и ввела налог на ввоз товара Б. Чтобы не было вооружённого конфликта, этот налог на ввоз необходимо отменить. Однако тогда произойдёт спад производства товара Б в стране Дельта. Правительство страны Дельта решает ввести потоварную субсидию для национальных производителей. Какова должна быть величина субсидии, чтобы выручка национальных производителей была такой же, как и в пункте 2? Каковы будут бюджетные расходы на эту программу поддержки?

    Как называется экономическая политика государства, описанная в пунктах 2 и 3?

    Решение задачи 3.

    Пункт 1.                                                                                                                                     10класс27

    Цены на товары различаются, поэтому при отсутствии барьеров будет осуществляться международная торговля.

    Суммируем предложение в двух странах и спрос в каждой из двух стран. (Аналогично можно находить функции экспорта и импорта)10класс28

    Величины экспорта/импорта, объём производства Дельта и объём производства Гамма: 10класс29Производство:10класс30                      10класс31

     

    Пункт 2.

    Международная торговля осуществляться не будет, т.к. величина налога превышает разницу между ценами товаров в этих странах.                                                                       10класс32

    Сумма налоговых сборов: 0*2,5 = 0

    Изменение выручки производителей страны Гамма =6*5 — 4*4 = 30-16 = 14.

    Пункт 3.

    Прибыль национальных фирм является функцией от цены. Т.е. в зависимости от цены они продают то или иное количество продукции, т.к. рынок совершенно конкурентный.

    Значит, им нужно установить такую субсидию, чтобы фактически цена для них равнялась 6 (цена при отсутствии международной торговли). Величина предложения совершенно конкурентной фирмы отвечает условию максимизации прибыли. Поэтому чтобы продавать 6 единиц, они должны получать 6 за каждую единицу продукции.

    Тогда при наличии свободной торговли мы можем записать равенство спроса и предложения на международном рынке:10класс33 Тогда необходимо дать потоварную субсидию в размере 10класс34                                                             Расходы бюджета составят 10класс35

    Пункт 4.

    Протекционизм.

     

    Задача 4.

    Г-н Комиссаренко решил преумножить свое богатство, положив 2 миллиона рублей в банк. Он выбирает между банками «Анжела» и «Виктория», годовые ставки по депозитам в которых составляют 5% и 20% соответственно. Однако с точки зрения рейтинговых агентств эти банки имеют разные категории надежности – А и B. Банк «Анжела» имеет категорию А, банк «Виктория» – категорию В. Банки категории А никогда не нарушают свои обязательства перед вкладчиками. Для банков категории B статистика хуже: в среднем ежегодно 10 из 100 таких банков прекращают платежи. Считайте, что неплатежеспособность банка может выявиться только по итогам первого квартала года, и к этому моменту вкладчик еще не получит никаких процентов, которые ему причитаются, так что в этом случае от его вклада не останется вообще ничего.

    1. Рассчитайте ожидаемую сумму*, которую г-н Комиссаренко будет иметь через год:
      1. Вложив деньги в банк «Анжела»;
      2. Вложив деньги в банк «Виктория»;
      3. Поровну разделив деньги между банками.
    2. На рынке появился третий банк «Светлана», его ставка по вкладу – 10%, а категория надежности – С, означающая, что банк окажется неплатежеспособным с вероятностью 5%.

    Как появление нового банка повлияет на решение г-на Комиссаренко о выборе банка, при условии, что он должен положить деньги в один банк?

    1. Государство ввело гарантию по банковским вкладам на сумму до 1,4 млн. рублей. Теперь в случае неплатежеспособности банка вкладчик получает сумму вклада в пределах 1,4 миллиона рублей и никаких процентов. А сумма вклада свыше 1,4 млн. рублей теряется, как и раньше. Вкладчик может иметь сколько угодно вкладов в разных банках, и гарантирован будет каждый вклад (главное, чтобы ни в одном банке не было больше 1,4 млн. руб.).
      1. Куда при этих новых обстоятельствах, при прочих равных условиях, г-н Комиссаренко будет вкладывать свои 2 миллиона рублей?
      2. Привело ли введение государственной гарантии по банковским вкладам к перетоку вкладов из менее надежных, с точки зрения рейтинговых агентств, банков в более надежные?

    *Под ожидаемой суммой следует понимать математическое ожидание.

    Справка

    Пусть распределение вероятностей случайной величины Х представлено в таблице:10класс36 Математическим ожиданием 10класс37случайной величины  называют число: 10класс38                                                                                                 Пример. Предположим, вам предлагают сыграть в лотерею, где с вероятностью10класс39 вы выиграете 100 рублей, с вероятностью 10класс40 вы выиграете 200 рублей, и с вероятностью 10класс41 выиграете 500 рублей. Тогда математическое ожидание денежного выигрыша в этой лотерее равно:                                                                  10класс42

    Решение задачи 4.

    Пункт 1.

    Рассчитайте ожидаемую сумму, которую г-н Комиссаренко будет иметь через год:

    Вложив деньги в банк «Анжела»;10класс43

                                                                          При Х=2 млн. получаем:                                                                                                 10класс44

    Вложив деньги в банк «Виктория»;10класс45

                                                                                  При Х=2 млн. получаем:                                                                                  2*(1 + 0,2) = 2,16

    0,1 – вероятность дефолта

    0,9 – не дефолт

    Поровну разделив деньги между банками.

    Самый простой способ расчета состоит в получении среднего арифметического от ожидаемой суммы в двух банках:

    (2,1+2,16)/2 = 2,13.

    Таким образом, наиболее выгодно для вкладчика положить все деньги в банк В.

     

    Пункт 2.

    На рынке появился третий банк «Светлана», его ставка по вкладу – 10%, а категория надежности – С, означающая, что банк окажется неплатежеспособным с вероятностью 5% и средства вкладчика в течение года не будут ему возвращены. Как появление нового банка повлияет на решение г-на Комиссаренко о выборе банка, при прочих равных условиях?

      10класс46

    Положив деньги в банк С, г-н Комиссаренко с вероятностью 95% получит 2,2 млн. руб., и с вероятностью 5% – 0 руб, ожидаемая сумма составит 2,09 млн. руб. Так как ожидаемая сумма и в банке А, и в банке В выше, чем в банке С, то появление банка С не повлияет на выбор вкладчика.

    Пункт 3.

    Государство ввело гарантию по банковским вкладам на сумму до 1,4 млн. рублей. Теперь в случае неплатежеспособности банка вкладчик получает только сумму вклада в пределах 1,4 миллиона рублей. А сумма вклада свыше 1,4 млн. рублей теряется, как и раньше. Вкладчик может иметь сколько угодно вкладов в разных банках, и гарантирован будет каждый вклад (главное, чтобы ни в одном банке не было больше 1,4 млн. руб.).

    Как эти новые обстоятельства могут повлиять, при прочих равных условиях, на решение г-на Комиссаренко? 10класс47

    Ожидаемые суммы в банках В и С при введении государственной гарантии по вкладам увеличились, а в банке А – нет. Следовательно, привлекательность банков В и С в глазах г-на Комиссаренко по сравнению с банком А повысилась. Это может побудить г-на Комиссаренко к переводу денег из банка А в банки В и С.

    Таким образом введение государственного страхования вкладов привело к тому, что депозиты стали перетекать в более рискованные банки. Следовательно, государственная гарантия по банковским вкладам поощряет переток депозитов в более рискованные банки.

    2 млн. в А:    1,05*2=2,1

    1,4 в А и 0,6 в В:  1,05*1,4+1,18*0,6=2,178

    1,4 в А и 0,6 в С: 1,05*1,4+1,095*0,6=2,127

     

    2 млн. в В:   1,08*2+0,14=2,3

    1,4 в В и 0,6 в А:  1,18*1,4+0,6*1,05=2,282

    1,4 в В и 0,6 в С: 1,18*1,4+1,095*0,6=2,309

     

    2 млн. в С:   1,045*2+0,07=2,16

    1,4 в С и 0,6 в А:  1,095*1,4+0,6*1,05=2,163

    1,4 в С и 0,6 в В: 1,095*1,4+1,18*0,6=2,241

    Таким образом, г-ну Комиссаренко выгоднее положить 1,4 млн. рублей в банк «Виктория» и 0,6 млн. руб. в банк «Светлана». Если необходимо разместить вклад целиком в одном банке, то предпочтение отдается банку «Виктория».