Задания ОЧ-2015: 8 класс

U9MksK8Py64

Первый дошедший до нас кроссворд был опубликован в 1875 году в сентябрьском номере журнала «Святой Николас» в Нью-Йорке. Но и в XXI веке подобный тип задач не потерял своей актуальности. Примером этому служит, например, тот факт, что именно кроссворд ­– одно из заданий, предложенных ученикам 8 класса на индивидуальном туре ОЧ-2015.
Остальные задания и их решения Вы можете увидеть ниже.

Задание 1. Автосалон.

Владелец автосалона «Эх, прокачу!» предложил каждому из своих менеджеров по продажам выбрать для себя на предстоящий год один из трех вариантов системы оплаты труда:

Вариант 1. Вознаграждение менеджера составляет $6 000 в год независимо от количества проданных им автомобилей.

Вариант 2. Вознаграждение менеджера составляет $4 000 в год плюс $250 за каждый проданный в течение года автомобиль.

Вариант 3. Вознаграждение менеджера составляет $500 за каждый проданный автомобиль.

Каждый из менеджеров хорошо представляет, сколько автомобилей он способен продать за год, и стремится максимизировать свой доход. Известно, что из 8 менеджеров автосалона половина выбрала первый вариант, а половина — второй. Третий вариант не выбрал никто.

(а) Оцените, какой объём продаж (в автомобилях) следует ожидать владельцу автосалона в предстоящем году (укажите верхнюю и нижнюю границы ожидаемого объёма).

(б) Владелец автосалона планирует в рамках сокращения кадров уволить двух менеджеров. Каких менеджеров ему следует увольнять: тех, кто выбрал первый вариант, или тех, кто выбрал второй?

Решение

(а) Решим неравенства и посмотрим, при каком количестве проданных автомобилей какой вариант обеспечивает наибольшую прибыль. Можно заметить, что 1 вариант предпочтительнее, если выбравший его менеджер продаёт наименьшее число автомобилей, а 3 – если наибольшее. Пусть X – кол-во проданных автомобилей. Тогда

1

Т.е. если менеджер продаёт меньше 8 автомобилей, то он предпочитает 1 вариант.

Далее посмотрим, когда он предпочитает 3 вариант второму.

2

Таким образом,

  • Первый вариант обеспечивает менеджеру максимальный доход, если он планирует продать от 0 до 8 автомобилей.
  • Второй вариант обеспечивает менеджеру максимальный доход, если он планирует продать от 8 до 16 автомобилей.
  • Третий вариант обеспечивает менеджеру максимальный доход, если он планирует продать 16 автомобилей или более.

Можно сделать вывод, что 4 менеджера планируют продать от 0 до 8 машин, а ещё 4 менеджера — от 8 до 16. Таким образом, планируемый объём продаж автосалона составляет от 32 до 96 автомобилей.

(б) Первый вариант выбирают наименее производительные менеджеры. При прочих равных увольнять нужно их.

 

Задание 2. Средние зарплаты

В фирме работают 100 человек. Эти 100 человек могут быть разбиты на две категории: опытные работники и новички. Кроме того, как среди опытных работников, так и среди новичков, есть и мужчины, и женщины. О них известна следующая информация:

4

  1. Определите среднюю зарплату опытных работников женского пола, если известно, что мужчины-новички имеют среднюю зарплату в размере 700, а всего мужчин-новичков 10 человек.
  2. Можно ли утверждать, что женщины получают несправедливо более низкую зарплату по сравнению с мужчинами?

Решение

  1. Составим на основе известных данных вспомогательную таблицу:

5

 

Чтобы рассчитать среднюю зарплату опытных работников женского пола, нам потребуются их суммарная зарплата и их численность.

При этом нам известна суммарная зарплата мужчин-новичков: 7000. Тогда суммарная зарплата женщин-новичков равна 25000-7000=18000, а суммарная зарплата опытных женщин равна 30000-18000=12000.

Аналогично определяется и численность опытных женщин. Для начала находим, что женщин-новичков 40-10=30 человек, потом рассчитываем численность опытных женщин: 40-30=10 человек.

Тогда средняя зарплата опытных женщин составит: 12000/10=1200.

2. С одной стороны, средняя зарплата мужчин выше, чем у женщин. Однако у ситуации есть и другая сторона. Для наиболее правильного ответа на этот вопрос перегруппируем наши данные в следующую таблицу:

6Таким образом, ответ на данный вопрос далеко не однозначен. Женщины-новички действительно получают меньше мужчин-новичков, но среди опытных работников средняя зарплата женщин выше, чем у мужчин.

Задание 3. Потерянные цифры.

Спрос на продукцию фирмы «Гамма» имеет вид Q = 1000 — P , где Q  — количество товара (в штуках),  P — цена товара (в рублях за одну штуку). Фирма «Гамма» стремится получить максимальную выручку от продажи товара. Руководство фирмы столкнулось с неожиданной проблемой: чтобы начать продажу товара, нужно установить на витрине ценник с указанием цены этого товара. Ценник набирается на специальном табло из соответствующих пластиковых цифр (представим, что никаких других путей оформления ценника не существует, например, нельзя написать цифры от руки). Однако большая часть цифр, из которых может быть собран ценник, оказалась утерянной. В распоряжении фирмы остались только четыре цифры: «1», «2», «2» и «7». Фирма может установить только такую цену на свою продукцию, которую можно собрать из этих цифр. Это означает, например, что фирма может установить цену 12, 221 или 127 рублей, но не может установить цену 57 рублей (так как у нее нет цифры «5») или 177 рублей (так как в ее распоряжении имеется всего одна цифра «7»). Какую цену установит фирма и сколько продукции она продаст?

 

Решение

Выведем функцию выручки.

Зависимость выручки от цены представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, максимум которой достигается при цене, равной 500 рублям (это вершина параболы).

7

Зависимость выручки от цены представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, максимум которой достигается при цене, равной 500 рублям (это вершина параболы).

8

Парабола – симметричная функция, поэтому для максимизации выручки нам нужно среди всех чисел, которые может «собрать» фирма на ценнике, выбрать то, которое на числовой оси расположено ближе всех к числу 500. Это число 712.

Ответ: P=712, Q=288.

Задание 4. Кроссворд.

Вам необходимо разгадать кроссворд и угадать загаданное слово из 9 букв, обозначающее банковскую операцию, в которой клиент расходует деньги сверх той суммы, которая есть у него на счёте.

9

Решение кроссворда поможет угадать загаданное слово, которое состоит из букв, выделенных цветом. В задании оценивается и правильно угаданное слово, и каждое правильное слово в кроссворде.

10

 

По горизонтали:

  1. Одна из форм материальных выплат, выплачиваемая государством населению.
  2. Допускаемая норма чего-либо в рамках договора.
  3. Превышение доходов бюджета над его расходами.
  4. Исчисляемый в денежном выражении износ какого-то оборудования в процессе его использования.
  5. Форма экономических взаимоотношений, при которых происходит перемещение товара от одного владельца к другому.
  6. Денежные средства или иное имущество, вкладываемые в объекты предпринимательской и/или иной деятельности с целью получения прибыли.
  7. Часть доходов, которая не тратится на текущие нужды, а откладывается на будущее
  8. Расчёт за купленные товары или услуги.
  9. Различают экстенсивный и интенсивный типы экономического ..… .
  10. Прибыль плюс издержки.

По вертикали:

  1. Банкротство.
  2. Организация рационального процесса передвижения товаров от поставщиков к потребителю.
  3. Один из видов договоров, при котором одно лицо получает от второго лица в собственность деньги или товары, обязуясь вернуть их через определенный срок.
  4. Экономический ….. – это относительная величина, помогающая проследить динамику какого-либо показателя.
  5. Обязательство погасить чей-то счёт в случае, если должник не сделает этого сам.
  6. Ещё один фактор производства, помимо традиционных капитала и труда, выделяемый некоторыми учеными в современной экономической науке.
  7. Цена денежной единицы одной страны, выраженная в денежных единицах другой страны.
  8. Реализация готовой продукции компании.
  9. Экономический ….. – это колебания уровня деловой активности, характеризующиеся такими фазами, как подъём, пик, спад и дно.
  10. Социально-экономическое явление, при котором часть экономически активного населения не имеет работы, но активно её ищет.

 

Решение

11

Получили буквы: ЕАТРОФРВД

 

Из них составляем требуемое слово. ОВЕРДРАФТ