Задания ОЧ-2016: 11 класс индивидуальный тур

Мы завершаем совместную подготовку к индивидуальному туру Открытого чемпионата заданиями 11 класса. Интересных и удачных вам решений!

Задача 1

Крестьянин Иван владеет двумя полями площадью по 20 гектар. На одном гектаре первого поля можно вырастить 12 тонн пшена или 16 тонн ржи. На гектаре другого поля можно вырастить 8 тонн пшена или 4 тонны ржи. Известно, что Иван выращивает X0 тонн ржи и использует свои земельные ресурсы полностью и эффективно.

Старший брат Ивана владеет одним полем площадью в 40 гектар, на гектаре которого можно выращивать a тонн пшена или a тонн ржи, и предлагает Ивану обменяться злаковыми культурами.

Известно, что Иван согласится на обмен, если он сможет производить больше (по сравнению с ситуацией до обмена) хотя бы одной из культур и во всяком случае не меньше другой.

При каких значениях a и X0 Иван согласится на обмен?

Решение:

Нетрудно заметить, что при a ≤ 10 Иван не согласится на обмен. В этом случае производственные возможности универсального поля полностью содержатся в производственных возможностях полей Ивана.

Также ясно, что при a > 12 Иван всегда будет соглашаться на сделку. Решается указанием на то, что в таком случае производственные возможности Ивана полностью содержатся в производственных возможностях его брата.

Найдем прямые, которые задают КПВ Ивана.

Куда включать точку излома не имеет значения.

Найдем прямую, характеризующую КПВ универсального поля:

Найдем пересечение кривых производственных возможностей:

Иван будет соглашаться на обмен в тех точках, где КПВ универсального поля лежит выше КПВ Ивана.

Ответ: при a ≤ 10 Иван не согласится на обмен; при a ∈ (10;12] не согласится при X0 ∈ (160a – 1600; 800 – 40a); при a > 12 согласится.

   Решение: